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Arrow Paradoxon Beispiel Essay

Das von dem Ökonomen Kenneth Arrow formulierte und nach ihm benannte Arrow-Theorem (auch Arrow-Paradoxon oder Allgemeines Unmöglichkeitstheorem (nach Arrow) genannt) ist ein Satz der Sozialwahltheorie. Er besagt, dass es keine vollständige und transitive gesellschaftliche Rangordnung gibt, die sich aus beliebigen individuellen Rangordnungen unter Einhaltung bestimmter – aus ethischen oder methodologischen Gründen naheliegender – Bedingungen zusammensetzt. Voraussetzung ist lediglich, dass die individuelle Präferenzordnung der Individuen jeweils mindestens drei Elemente umfasst. Die Bedingungen, von denen in diesem Fall stets mindestens eine verletzt sein muss, sind üblicherweise unter den Bezeichnungen Universalität, schwaches Pareto-Prinzip, Unabhängigkeit von irrelevanten Alternativen und Nicht-Diktatur bekannt.[1]

Das Theorem wurde von Arrow zuerst in seiner Dissertation formuliert, die 1951 unter dem Titel „Social Choice and Individual Values“ als Buch erschienen ist. Die Arbeit entstand aus den Diskussionen der an Pareto-Effizienz orientierten Wohlfahrtsökonomik(welfare economics), deren Begriffe und Methoden Arrow verwendet. In seiner ursprünglichen Fassung enthielt das Theorem allerdings einen Fehler, auf den 1957 erstmals Julian Blau hingewiesen hat,[2] was Arrow später zur Vorlage einer revidierten Version bewog. Im Folgenden wird das Theorem in seiner korrigierten Fassung dargestellt.

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grundlegend für das Arrow-Theorem ist die Annahme, dass Individuen aus einer Reihe von Alternativen wählen können; dabei kann es sich beispielsweise um verschiedene Parteien in einer politischen Wahl handeln. Hinsichtlich dieser Alternativen verfügen die Individuen über Präferenzrelationen, an die die (Minimal-)Voraussetzung zu stellen ist, dass sie jeweils i) vollständig und ii) transitiv sind. Eigenschaft i) bedeutet, dass für zwei Alternativen A und B jeder einzelne auch tatsächlich ein Ranking vornehmen können muss: Stets ist er in der Lage, zwischen zwei beliebigen Alternativen A und B zu entscheiden, ob A für ihn besser, schlechter oder gleichwertig mit B ist. Unter Eigenschaft ii) ist zu verstehen, dass ein Haushalt, der A mindestens so gut findet wie B und B wiederum mindestens so gut findet wie C, auch A mindestens so gut wie C finden sollte. i) und ii) vorausgesetzt, muss die Wahl des Individuums dann auch tatsächlich auf Basis der Präferenzordnung erfolgen, sodass ein Individuum, das zwischen einer gewissen Menge an Alternativen entscheiden muss, auch tatsächlich diejenige vorzieht, die nach der Präferenzrelation „besser“ als die anderen bewertet wird.

Der Gegenstand des Theorems ist sodann das Verhältnis zwischen dem Wollen von Individuen und der gesellschaftlichen Entscheidung. Hierzu schreibt Arrow: „Wir fragen, ob es formal möglich ist, ein Verfahren zu entwerfen, um ausgehend von einer Menge gegebener individueller Präferenzen zu einer strukturierten sozialen Entscheidung zu gelangen, wobei von dem betreffenden Verfahren gefordert wird, dass es bestimmte naheliegende Bedingungen (natural conditions) erfüllt.“ Ein solches Verfahren, individuelle Präferenzordnungen in gesellschaftliche Rangordnungen zu transformieren, bezeichnet man als Gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion nach Arrow. Diese weist jedem Vektor von (vollständigen und transitiven) Präferenzordnungen von Individuen – in einer Gesellschaft aus zwei Personen kann dieser beispielsweise aus den Elementen „Person 1 präferiert A vor B und B vor C“ und „Person 2 präferiert B vor C und C vor A“ bestehen – eine (wiederum vollständige und transitive) gesellschaftliche Rangordnung zu.

Das Arrow-Theorem besagt, dass keine solche gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion existieren kann, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:[3]

  • U(universality / Universalität): Die Wohlfahrtsfunktion ist für alle erdenklichen individuellen (vollständigen und transitiven) Präferenzordnungen geeignet.
  • I(independence / Unabhängigkeit): Für das gesellschaftliche Ranking von zwei Alternativen A und B sind ausschließlich die Präferenzen der Individuen bezüglich dieser beiden Alternativen relevant. (Anders ausgedrückt: Will man wissen, wie die Gesellschaft zwei Alternativen A und B bewertet, ist es nicht nötig, die kompletten Präferenzordnungen der Individuen zu betrachten, sondern es genügt, von jedem zu erfragen, wie er A und B bewertet.)
  • M(monotonicity / Monotonität): Wenn die Wohlfahrtsfunktion der Alternative A gesellschaftlich den Vorzug vor B gibt, dann darf sich diese Rangordnung nicht dadurch verändern, dass einige Individuen ihre Präferenzordnungen so modifizieren, dass sie nunmehr A noch besser als bislang bewerten, während gleichzeitig niemand A schlechter als bisher bewertet.
  • N(non-imposition, auch citizen sovereignty): Für sämtliche Alternativen A und B gibt es einen Vektor von Präferenzordnungen, mit dem die Gesellschaft A vor B präferiert. Das heißt, es gibt nichts, durch das die Individuen gehindert wären, ihre Präferenzen auf gesellschaftlicher Ebene zu implementieren.
  • D(non-dictatorship / Nicht-Diktatur): Es gibt keinen Diktator, dessen individuelle Präferenzordnung zugleich die gesellschaftliche Rangordnung darstellt.

Liegen mindestens zwei Individuen und mindestens drei Entscheidungsvarianten vor, so existiert kein Mechanismus, der aus den individuellen Entscheidungen eine kollektive Entscheidung ableiten könnte, die allen fünf Axiomen genügt. Anders formuliert: Es verstößt jeder Mechanismus, der aus den individuellen Entscheidungen eine kollektive Entscheidung ableitet und vier der Axiome erfüllt, gegen das verbleibende Axiom. Für einen entsprechenden kollektiven Entscheidungsmechanismus muss also eine der Bedingungen verändert oder fallengelassen werden.

Die Bedingungen M und N können durch eine einzige Bedingung P ersetzt werden, ohne die Gültigkeit des Theorems einzuschränken:

  • P (schwaches Pareto-Prinzip): Wenn jede Person in ihrer Präferenzordnung die Alternative A strikt B vorzieht, so gilt dies auch auf gesellschaftlicher Ebene.

Formale Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die Menge aller möglichen gesellschaftlichen Allokationen, dann ist das kartesische Produkt die Menge aller geordneten Tupel , . sei eine binäre Relation auf , und es wird vereinbart, dass alternativ geschrieben werden kann. Voraussetzung an ist dabei, dass die Relation

  1. vollständig ist, das heißt, dass oder (oder beides),
  2. und dass sie transitiv ist, also für alle gilt, dass .

In der resultierenden Ordnung interpretiert man in der Schreibweise nun salopp als „ist besser als oder gleich gut wie“ (Präferenz-Indifferenz-Relation). Zugleich induziere die Relationen („ist strikt besser als“; Präferenz-Relation), wobei genau dann, wenn , aber nicht , sowie („ist gleich gut wie“; Indifferenzrelation), wobei genau dann, wenn und zugleich .

Sei , eine individuelle Präferenzordnung einer Person aus einer Gesellschaft von Mitgliedern ( und analog definiert). Sei weiter die Menge aller möglichen gesellschaftlichen Rangordnungen und die Menge aller möglichen individuellen Präferenzordnungen. Dann ist eine gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion.

Theorem von Arrow (1951, 1963): Sei endlich und . Dann existiert keine Funktion , die gleichzeitig die Eigenschaften i) U, I, M, N und D oder ii) U, I, P und D erfüllt.

Formaler Nachtrag zu den oben postulierten Eigenschaften:[4]

  • I: Seien Alternativen. Wenn nun für alle gilt, dass sich in keiner individuellen Präferenzordnung das relative Ranking von und nach einer Abwandlung von in ändert, dann ändert sich das Ranking bezüglich und auch nicht beim Übergang von zur neuen gesellschaftlichen Wohlfahrtsordnung .
  • M: Für alle Tupel und gilt für eine gegebene Alternative : Wenn für alle und für alle gilt, dass zum einen und zum anderen sowie , dann .
  • N: Es gibt keine zwei Alternativen , , sodass für beliebige Präferenztupel .
  • P: Seien , Alternativen: .[5]
  • D: Es gibt kein Individuum , sodass für alle , gilt, dass , ungeachtet der Präferenzordnungen der anderen Individuen außer .

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden soll ein illustrativer Beweis des Theorems skizziert werden, der demjenigen von Geanakoplos (1996, 2005) und dessen Darstellung in Jehle/Reny (2011[6]) folgt.[7] Die Strategie ist dabei in der Grundidee identisch zu der im originalen Beweis von Arrow (1951): Es wird gezeigt, dass unter den Voraussetzungen des Theorems die Annahme von U, I und P unmittelbar dazu führt, dass die Wohlfahrtsfunktion gegen die Nicht-Diktatur-Annahme D verstößt. Folglich kann es keine Wohlfahrtsfunktion geben, die alle vier Bedingungen erfüllt.

Man geht zunächst von einer Alternative aus, die von allen Personen strikt am wenigsten präferiert wird, d. h. . Aus P folgt, dass damit auch . Dies ist in der nachfolgenden Tabelle anhand der beschriebenen Gesellschaft aus Mitgliedern illustriert (man beachte, dass die dargestellten Präferenzordnungen auch schwach sein können):

(Tabelle 1:)

Arrow-Unmöglichkeitstheorem. 1. Begriff: von Arrow entwickeltes Theorem der Wohlfahrtsökonomik und der Theorie der Kollektiventscheidungen, wonach es nicht gewährleistet ist, dass Mehrheitsentscheidungen unabhängig von der gewählten Abstimmungsform zu eindeutigen Ergebnissen führen. Varian (Grundzüge der Mikroökonomik) stellt die folgenden Anforderungen an den gesellschaftlichen Entscheidungsprozess:
(1) Vollständigkeit, Reflexivität und Transitivität der individuellen und der sozialen Präferenzen;
(2) Wenn jedes Individuum eine Alternative A der Alternativen B vorzieht, sollte auch die soziale Präferenzordnung die Alternative A vor der Alternativen B präferieren;
(3) Präferenzen zwischen den Alternativen A und B sollten unabhängig sein von der Bewertung anderer Alternativen.

Beispiel:

Im Beispiel wird jede Alternative jeweils gleich stark mit 2:1 den beiden anderen vorgezogen. Die Wahl einer bestimmten Alternative hängt damit von der Reihenfolge der Wahlgänge ab. Daraus folgt, dass die Abstimmung nach dem Mehrheitswahlprinzip nicht mit Sicherheit zu einer eindeutigen kollektiven Präferenzfolge führt. Willkürliche Abstimmungsergebnisse können nicht ausgeschlossen werden.

2. Bewertung: Das von Arrow herausgearbeitete Abstimmungsparadoxon führt zu der ernüchternden Erkenntnis, dass es nicht möglich ist, mit Mehrheitsentscheidungen individuelle Präferenzen konsistent zu aggregieren und auf dieser Basis eine gesellschaftliche Wohlfahrtsfunktion abzuleiten.

Anders: Condorcet-Paradoxon.