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Partielle Ableitung

In diesem Kapitel schauen wir uns die partielle Ableitung etwas genauer an.

Wenn eine Funktion mehrere Variablen hat, z.B.

\(f(x,y) = 2x + y\)

und nach einer (!) der Variablen abgeleitet wird,
spricht man von der partiellen Ableitung.

Im obigen Beispiel gibt es zwei partielle Ableitung, weil man ja sowohl nach \(x\) als auch nach \(y\) ableiten kann. Die jeweils andere Variable - die, nach der nicht abgeleitet wird - verhält sich dabei wie eine Konstante. Wenn du also nach \(x\) ableiten willst, kannst du dir vorstellen, dass \(y\) z.B. dem Wert 5 entspricht:

\(y\) wird als konstant (\(y=5\)) angesehen: \(f(x,y) = 2x + 5 \quad \rightarrow \quad f_x(x,y) = 2\)

Jetzt setzen wir \(x\) konstant und leiten nach \(y\) ab:

\(x\) wird als konstant (\(x=7\)) angesehen: \(f(x,y) = 2 \cdot 7 + y \quad \rightarrow \quad f_y(x,y) = 1\)

Wie man sieht, ist es gar nicht so schwer, die partiellen Ableitungen einer Funktion zu berechnen. Übrigens ist die Vorstellung, dass die jeweils konstante Variable einem konkreten Wert entspricht nur eine Denkhilfe. In Prüfungen könnt ihr euch an dieser Stelle Schreibarbeit sparen und einfach direkt ableiten.

Jetzt ist es an der Zeit, dass wir wiederholen, wie man Konstanten beim Ableiten behandelt.

Die Ableitung einer Kostanten ist gleich Null.

(> Ableitungsregeln)

Beispiel

Gegeben ist die Funktion \(f(x,y) = 2x + 3y\).

Wenn wir die Funktion nach \(x\) ableiten, wird \(y\) gleich Null.

\(f_x = 2 + 0 = 2\)

Wenn wir die Funktion nach \(y\) ableiten, wird \(x\) gleich Null.

\(f_y = 0 + 3 = 3\)

Sind die beiden Variablen \(x\) und \(y\) multiplikativ verknüpft, kommt die Faktorregel zum Einsatz.

Ein konstanter Faktor bleibt beim Ableiten erhalten.

Beispiel

Gegeben ist die Funktion \(f(x,y) = 5xy\).

Wenn wir die Funktion nach \(x\) ableiten, bleibt \(y\) erhalten.

\(f_x = 5y\)

Wenn wir die Funktion dagegen nach \(y\) ableiten, bleibt \(x\) erhalten.

\(f_y = 5x\)

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen spricht man von einer Ableitung 1. Ordnung, wenn einmal abgeleitet wurde. Falls die Funktion jedoch zweimal abgeleitet wurde, spricht man von der partiellen Ableitung 2. Ordnung. Entsprechend berechnet man die 3. und 4. Ordnung (usw.) - schauen wir uns das mal an einem Bespiel an.

\[f(x,y) = x^2 + xy + 2y^2\]

Berechne die partiellen Ableitungen 1. Ordnung

\[f_x(x,y) = 2x + y \]

\[f_y(x,y) = x + 4y\]

Berechne die partiellen Ableitungen 2. Ordnung

Wenn man die partielle Ableitung 1. Ordnung (\(f_x\)) noch einmal nach \(x\) (oder nach \(y\)) ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung

\[f_{xx}(x,y) = 2\]

\[f_{xy}(x,y) = 1\]

Wenn man die partielle Ableitung 1. Ordnung (\(f_y\)) noch einmal nach \(y\) (oder nach \(x\)) ableitet, erhält man die partiellen Ableitungen 2. Ordnung

\[f_{yy}(x,y) = 4\]

\[f_{yx}(x,y) = 1\]

Wir stellen fest, dass die Zahl der möglichen Ableitungen höherer Ordnung schnell größer wird.  Eine Funktion mit zwei Variablen \((x,y)\) besitzt beispielsweise zwei partielle Ableitungen 1. Ordnung (\(f_x\) und \(f_y\)), vier partielle Ableitungen 2. Ordnung (\(f_{xx}\), \(f_{xy}\), \(f_{yy}\) und \(f_{yx}\)) und acht partielle Ableitungen 3. Ordnung (\(f_{xxx}\), \(f_{xxy}\), \(f_{xyx}\), \(f_{xyy}\), \(f_{yyy}\), \(f_{yyx}\), \(f_{yxy}\) und \(f_{yxx}\)).

Schreibweisen

Je nach Schule oder Universität gibt es im Zusammenhang mit partiellen Ableitungen unterschiedliche Schreibweisen, die aber selbstverständlich dasselbe bedeuten.

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

\[f_x = \frac{\partial f}{\partial x} \qquad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} \]

Partielle Ableitungen 2. Ordnung

\[f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \qquad f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} \]

\[f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \qquad f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \]

Entsprechend lauten die Schreibweisen für partielle Ableitungen 3. (usw.) Ordnung.

Ableitungsregeln

Alle bekannten Ableitungsregeln gelten auch für partielle Ableitungen.

Bei den folgenden Beispiele wurde jeweils die Ableitung 1. Ordnung berechnet, d.h. die Funktionen wurden nach jeder Variable einmal abgeleitet.

  • Summenregel / Differenzregel
    \(f(x) = g(x) \pm h(x) \quad \rightarrow  \quad f'(x) = g'(x) \pm h'(x)\)

    Beispiel
    \(f(x,y) = 2x^2 + 2x - 4y\)
    \(f_x = 4x + 2\)
    \(f_y = -4\)

  • Produktregel
    \(f(x) = g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(x) \cdot h(x) + g(x) \cdot h'(x)\)

    Beispiel
    \(f(x,y) = x^2y \cdot xy^3\)
    \(f_x =2xy \cdot xy^3 + x^2y \cdot y^3\)
    \(f_y = x^2 \cdot xy^3 + x^2y \cdot 3xy^2\)

  • Quotientenregel
    \[f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} \quad \rightarrow  \quad f'(x)=\frac{h(x) \cdot g'(x) - g(x) \cdot h'(x)}{\left[h(x)\right]^2}\]Beispiel\[f(x,y) = \frac{2x}{y^2}\]\[f_x =\frac{y^2 \cdot 2 - 2x \cdot 0}{\left[y^2\right]^2}\]\[f_y =\frac{y^2 \cdot 0 - 2x \cdot 2y}{\left[y^2\right]^2}\]
  • Kettenregel
    \(f(x) = g(h(x)) \quad \rightarrow \quad f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)\)

    Beispiel
    \(f(x,y) = (x+2y)^3\)

    Äußere Funktion: \(g(v) = v^3 \quad \rightarrow \quad g'(v) = 3v^2\)
    Innere Funktion: \(h(x,y) = x+2y \quad \rightarrow \quad h_x = 1 \quad \text{und} \quad h_y = 2\)

    \(f_x = 3(x+2y)^2 \cdot 1\)
    \(f_y = 3(x+2y)^2 \cdot 2\)

Die partielle Ableitung zu berechnen, ist eigentlich nicht schwer. Im Gegensatz zum "normalen" Ableiten erfordert es jedoch ein wenig mehr Übung und Konzentration. Es empfiehlt sich deshalb, die obigen Beispiele selbständig nachzurechnen. Eventuell ist jetzt auch der passende Zeitpunkt, um sich noch einmal mit den Ableitungsregeln vertraut zu machen.